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      1 第1讲 刷好题练能力

      [基础题组练]

      1.已知函数 f(x)=1xcos x,则 f(π)+f′??π2??=( )

      A.-π32

      B.-π12

      C.-3π

      D.-1π

      解析:选

      C.因为

      1 f′(x)=-x2cos

      x+1x(-sin

      x),所以

      f(π)+f′??π2??=-1π+2π·(-1)=-3π.

      2.(2019·福州模拟)曲线 f(x)=x+ln x 在点(1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积

      为( )

      A.2

      3 B.2

      1

      1

      C.2

      D.4

      解析:选 D.f′(x)=1+1x,则 f′(1)=2,故曲线 f(x)=x+ln x 在点(1,1)处的切线方程为 y

      -1=2(x-1),即 y=2x-1,此切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0,-1),??12,0??,则切

      线与坐标轴围成的三角形的面积为12×1×12=14,故选 D.

      3.已知曲线 y=x42-3ln x 的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为(

      )

      A.3

      B.2

      C.1

      1 D. 2

      解析:选 A.因为 y′=2x-3x,令 y′=12,解得 x=3,即切点的横坐标为 3.

      4.如图所示为函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象,那么 y=f(x),y=g(x)的图象可能 是( )

      解析:选 D.由 y=f′(x)的图象知 y=f′(x)在(0,+∞)上单调递减,说明函数 y=f(x)的切

      线的斜率在(0,+∞)上也单调递减,故排除 A、C.又由图象知 y=f′(x)与 y=g′(x)的图象在 x

      =x0 处相交,说明 y=f(x)与 y=g(x)的图象在 x=x0 处的切线的斜率相同,故排除 B.

      5.函数 g(x)=x3+52x2+3ln x+b(b∈R)在 x=1 处的切线过点(0,-5),则 b 的值为(

      )

      7

      5

      A.2

      B.2

      3

      1

      C.2

      D.2

      解析:选 B.当 x=1 时,g(1)=1+52+b=72+b,

      又 g′(x)=3x2+5x+3x,

      所以切线斜率 k=g′(1)=3+5+3=11,

      从而切线方程为 y=11x-5,
      由于点??1,72+b??在切线上,所以72+b=11-5,
      解得 b=52.故选 B. 6.已知 f(x)=ax4+bcos x+7x-2.若 f′(2 018)=6,则 f′(-2 018)=________. 解析:因为 f′(x)=4ax3-bsin x+7,

      所以 f′(-x)=4a(-x)3-bsin(-x)+7

      =-4ax3+bsin x+7.

      所以 f′(x)+f′(-x)=14.

      又 f′(2 018)=6,

      所以 f′(-2 018)=14-6=8.

      答案:8 7.(2019·广州市调研测试)若过点 A(a,0)作曲线 C:y=xex 的切线有且仅有两条,则实 数 a 的取值范围是________. 解析:设切点坐标为(x0,x0ex0),y′=(x+1)ex,y′|x=x0=(x0+1)ex0,所以切线方程为 y -x0ex0=(x0+1)ex0(x-x0),将点 A(a,0)代入可得-x0ex0=(x0+1)ex0(a-x0),化简,得 x20- ax0-a=0,过点 A(a,0)作曲线 C 的切线有且仅有两条,即方程 x20-ax0-a=0 有两个不同 的解,则有 Δ=a2+4a>0,解得 a>0 或 a<-4,故实数 a 的取值范围是(-∞,-4)∪(0,
      +∞). 答案:(-∞,-4)∪(0,+∞) 8.(2019·南昌第一次模拟)设函数 f(x)在(0,+∞)内可导,其导函数为 f′(x),且 f(ln x)
      =x+ln x,则 f′(1)=________. 解析:因为 f(ln x)=x+ln x,所以 f(x)=x+ex,
      所以 f′(x)=1+ex,所以 f′(1)=1+e1=1+e. 答案:1+e 9.已知函数 f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R). (1)若函数 f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率为-3,求 a,b 的值; (2)若曲线 y=f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线,求 a 的取值范围. 解:f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2).
      ??f(0)=b=0, (1)由题意得?
      ??f′(0)=-a(a+2)=-3,
      解得 b=0,a=-3 或 a=1.
      (2)因为曲线 y=f(x)存在两条垂直于 y 轴的切线,
      所以关于 x 的方程 f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2)=0 有两个不相等的实数根,
      所以 Δ=4(1-a)2+12a(a+2)>0,
      即 4a2+4a+1>0, 所以 a≠-12.
      所以 a 的取值范围为??-∞,-12??∪??-12,+∞??.
      10.已知函数 f(x)=x3+x-16.

      (1)求曲线 y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程; (2)直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程及切点坐标; (3)如果曲线 y=f(x)的某一切线与直线 y=-14x+3 垂直,求切点坐标与切线的方程. 解:(1)可判定点(2,-6)在曲线 y=f(x)上.
      因为 f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1.

      所以 f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为 k=f′(2)=13.

      所以切线的方程为 y=13(x-2)+(-6),

      即 y=13x-32.

      (2)设切点为(x0,y0), 则直线 l 的斜率为 f′(x0)=3x20+1, 所以直线 l 的方程为 y=(3x20+1)(x-x0)+x30+x0-16, 又因为直线 l 过点(0,0), 所以 0=(3x20+1)(-x0)+x30+x0-16, 整理得,x30=-8, 所以 x0=-2, 所以 y0=(-2)3+(-2)-16=-26, k=3×(-2)2+1=13.

      所以直线 l 的方程为 y=13x,切点坐标为(-2,-26). (3)因为切线与直线 y=-14x+3 垂直,

      所以切线的斜率 k=4.

      设切点的坐标为(x0,y0), 则 f′(x0)=3x20+1=4,

      所以 x0=±1.

      ??x0=1, ??x0=-1,

      所以?

      或?

      ??y0=-14 ??y0=-18,

      即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),

      切线方程为 y=4(x-1)-14 或 y=4(x+1)-18.

      即 y=4x-18 或 y=4x-14.

      [综合题组练]

      1.(应用型)在等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数 f(x)=x(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8),

      则 f′(0)=( )

      A.26

      B.29

      C.212

      D.215

      解析:选 C.因为 f′(x)=x′·[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]+[(x-a1)·(x-a2)·…·(x-a8)]′·x=(x

      -a1)(x-a2)·…·(x-a8)+[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]′·x,

      所以 f′(0)=(0-a1)(0-a2)·…·(0-a8)+0=a1a2·…·a8.

      因为数列{an}为等比数列,所以 a2a7=a3a6=a4a5=a1a8=8,所以 f′(0)=84=212.故选 C.

      2.(应用型)(2019·成都第二次诊断检测)若曲线 y=f(x)=ln x+ax2(a 为常数)不存在斜率

      为负数的切线,则实数 a 的取值范围是( )

      A.??-12,+∞??

      B.[-12,+∞)

      C.(0,+∞)

      D.[0,+∞)

      解析:选 D.f′(x)=1x+2ax=2axx2+1(x>0),根据题意有 f′(x)≥0(x>0)恒成立,所以 2ax2

      +1≥0(x>0)恒成立,即 2a≥-x12(x>0)恒成立,所以 a≥0,故实数 a 的取值范围为[0,+∞).故

      选 D. 3.(创新型)(2019·黑龙江伊春质检)曲线 y=ln(2x-1)上的点到直线 2x-y+8=0 的最短
      距离是________. 解析:设 M(x0,ln(2x0-1))为曲线上的任意一点,则曲线在 M 点处的切线与直线 2x-y
      +8=0 平行时,M 点到直线的距离即为曲线 y=ln(2x-1)上的点到直线 2x-y+8=0 的最短

      距离.

      2

      2

      因为

      y′= ,所以

      =2,解得

      2x-1

      2x0-1

      x0=1,所以

      M(1,0).记点

      M

      到直线

      2x-y+8

      |2+8|

      =0 的距离为 d,则 d=

      =2 5.

      4+1

      答案:2 5 4.设有抛物线 C:y=-x2+92x-4,过原点 O 作 C 的切线 y=kx,使切点 P 在第一象 限. (1)求 k 的值; (2)过点 P 作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点 Q 的坐标. 解:(1)由题意得,y′=-2x+92.设点 P 的坐标为(x1,y1),
      则 y1=kx1,① y1=-x21+92x1-4,② -2x1+92=k,③ 联立①②③得,x1=2,x2=-2(舍去). 所以 k=12.
      (2)过 P 点作切线的垂线,
      其方程为 y=-2x+5.④
      将④代入抛物线方程得, x2-123x+9=0.
      设 Q 点的坐标为(x2,y2),则 2x2=9, 所以 x2=92,y2=-4.
      所以 Q 点的坐标为??92,-4??.
      5.(2019·福州质检)设函数 f(x)=ax-bx,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x- 4y-12=0.
      (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形的面 积为定值,并求此定值. 解:(1)方程 7x-4y-12=0 可化为 y=74x-3. 当 x=2 时,y=12.又 f′(x)=a+xb2,

      ??? 于是

      2a-b2=12,

      ??a=1,

      解得?



      a+b4=74,

      ??b=3.

      f(x)=x-3x.

      (2)证明:设

      P(x0,y0)为曲线上任一点,由

      3 y′=1+x2,知曲线在点

      P(x0,y0)处的切线方

      程为
      y-y0=??1+x320??(x-x0), 即 y-??x0-x30??=??1+x320??(x-x0).
      6 令 x=0,得 y=-x0,
      从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为??0,-x60??.
      令 y=x,得 y=x=2x0,

      从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0).
      所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为 S=12??-x60??|2x0|
      =6.

      故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为定值,且

      此定值为 6.